НОРМЫ СИНДРОМОВ И ИХ СВОЙСТВА В КОДАХ РИДА – СОЛОМОНА

Аннотация

Разработана теория норм синдромов (ТНС) для семейства кодов Рида – Соломона, являющаяся развитием ТНС для класса БЧХ-кодов. РС-коды построены на недвоичных алфавитах, поэтому, в отличие от кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема, РС-коды содержат исключительно большое количество корректируемых ошибок. Для коррекции этих ошибок предлагается систематическое применение автоморфизмов кодов. Характерными автоморфизмами РС-кодов являются циклические и аффинные подстановки, образующие циклические группы Г и А соответственно, порядки которых совпадают с длиной кода. Циклическая и аффинная подстановки коммутируют друг с другом и порождают совместную АГ-группу. Эти три группы действуют на пространстве векторов-ошибок РС-кодов, разбивая это пространство на три вида орбит ошибок. Как правило, эти орбиты являются полными, то есть содержат максимально возможное количество ошибок. Спектры синдромов орбит ошибок также, как правило, являются полными. Структура спектров синдромов копирует структуру самих орбит, которые, в свою очередь, копируют структуру групп автоморфизмов кода. Введено понятие нормы синдрома вектора- ошибки – векторной величины, координаты которой определяются всевозможными парами компонент синдрома. Доказано, что норма синдрома инвариантна относительно действия подстановок группы Г, поэтому нормы синдромов являются инвариантами каждой отдельно взятой Г-орбиты. В работе доказан ряд предложений, отражающих базовые свойства норм синдромов. Эти результаты составляют теоретическую основу норменных методов коррекции ошибок РС-кодами.