ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ МОДЕЛЬНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ СКОРОСТЯМИ a1(x,t) И a2 (x,t) В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

Аннотация

Предложено новое одномерное двухскоростное линейное модельное волновое уравнение u_tt(t,x)+(a₁-a₂)u_tx(t,x) - a₁a₂u_xx(x,t)-a₂^-1(a₂)_tu_t(x,t)-a₁(a₂)_xu_x(x,t)  = ƒ(x,t) (1) с двумя переменными скоростями a_3-i(x,t)≥a_3-i ⁽⁰⁾ >0, (x,t)∈G=]-∞,+∞ [x[0,+∞[, a_3-i ∈ C²(G), i=1,2. Вычислено частное классическое решение F этого двухскоростного модельного волнового уравнения в верхней полуплоскости G. Проведена двойная проверка этого решения подстановкой F в уравнение (1) и в соответствующий канонический вид уравнения (1), из которого вычислялась функция F. Найден критерий гладкости правой части ƒ уравнения (1) для классического решения F в верхней полуплоскости G. Обсуждается критерий гладкости на ƒ для дважды непрерывной дифференцируемости F в первой четверти плоскости. С помощью классического решения F выведен общий интеграл уравнения (1) из множества всех его классических решений u ∈ C²(G), который нужен при решении задачи Коши и начально-граничных задач для уравнения (1). Эти результаты получены применением разработанного автором ранее нового «метода неявных характеристик» уравнения.