О РАЗРЫВАХ ПЕРВЫХ И ВТОРЫХ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЙ ОБЩЕГО ОДНОМЕРНОГО ФАКТОРИЗОВАННОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ
##plugins.themes.bootstrap3.article.sidebar##
##plugins.themes.bootstrap3.article.main##
Аннотация
Изучается гладкость обобщенных решений одномерного волнового уравнения (∂t - a2∂x + b2) (∂t + a1∂x + b1) u(x, t) = ƒ (x,t) и его правой части ƒ в первой четверти плоскости. Цель работы – нахождение линий разрывов первых и вторых частных производных обобщенных решений этого волнового уравнения в случае существования этих производных и выявление необходимых требований гладкости на правую часть ƒ для существования классических решений этого уравнения. Она достигается методом распространяющихся волн из курса уравнений математической физики и методами теории обобщенных функций. Доказано, что первые частные производные непрерывных решений этого уравнения могут терпеть разрыв только на кусках его характеристик: x - a1t = C1, x + a2t = C2. Вторые частные производные его непрерывно дифференцируемых решений могут иметь разрыв только на кусках этих характеристик и кусках прямых: x - √ a2a1 t = C3 , x + √ a2a1 t = C4 , Ci ∈ ℝ, i = 1, 4 . С помощью этих результатов установлено, что любое классическое решение общего факторизованного линейного неоднородного уравнения колебаний струны содержит в виде слагаемого его единственное (с точностью до аддитивных классических решений соответствующего факторизованного однородного уравнения) обобщенное решение, которое дважды непрерывно дифференцируемое и является его классическим решением в первой четверти плоскости. Это позволило нам вывести необходимость непрерывности ƒ и соответствующих интегральных требований гладкости на ƒ для существования классических решений исследуемого уравнения.
##plugins.themes.bootstrap3.article.details##
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Библиографические ссылки
Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский // М. : Наука, 2004. – 798 с.
Ломовцев, Ф. Е. Единственность частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений, не содержащих нетривиальные частные решения их однородных уравнений / Ф. Е. Ломовцев // XII Белорусская математическая конференция : тез. докл., Минск, 5-10 сент. 2016 г. : в 5 ч. / Белорус. гос. ун-т ; ред. С. Г. Красовский. – Минск, 2016. – Ч. 2. – С. 71–72.
Ломовцев, Ф. Е. Классические решения неоднородного факторизованного гиперболического уравнения второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной второй косой производной в граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Весн. Вiцеб. дзярж. ун-та. – 2015. – № 4 (88). – С. 5–11.
Ломовцев, Ф. Е. Метод вспомогательных смешанных задач для полуограниченной струны / Ф. Е. Ломовцев // Шестые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям : матер. Междунар. мат. конф. Минск, 7–10 дек. 2015 г. : в 2 ч. / Белорус. гос. ун-т ; ред. С.Г. Красовский. – Минск, 2015. – Ч. 2. – С. 74–75.
Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – Минск : БГУ, 2011. – 459 с.
Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для одномерного волнового уравнения с негладкими условиями Коши / В. И. Корзюк, С. И. Пузырный // Весн. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 2. – С. 22–31.
Владимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1976. – 280 с.
Lions, J.-L. Equations diffé rentielles opé rationnelles et problèmes aux limites / J.-L. Lions // Berlin : Springer, 1961. – 292 p.