О РАЗРЫВАХ ПЕРВЫХ И ВТОРЫХ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ РЕШЕНИЙ ОБЩЕГО ОДНОМЕРНОГО ФАКТОРИЗОВАННОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ

Аннотация

Изучается гладкость обобщенных решений одномерного волнового уравнения (∂_t - a₂∂_x + b₂) (∂_t + a₁∂_x + b₁) u(x, t) = ƒ (x,t) и его правой части ƒ в первой четверти плоскости. Цель работы – нахождение линий разрывов первых и вторых частных производных обобщенных решений этого волнового уравнения в случае существования этих производных и выявление необходимых требований гладкости на правую часть ƒ для существования классических решений этого уравнения. Она достигается методом распространяющихся волн из курса уравнений математической физики и методами теории обобщенных функций. Доказано, что первые частные производные непрерывных решений этого уравнения могут терпеть разрыв только на кусках его характеристик: x - a₁t = C₁, x + a₂t = C₂. Вторые частные производные его непрерывно дифференцируемых решений могут иметь разрыв только на кусках этих характеристик и кусках прямых: x - √ a₂a₁ t = C₃ , x + √ a₂a₁ t = C₄ , C_i ∈ ℝ, i = 1, 4 . С помощью этих результатов установлено, что любое классическое решение общего факторизованного линейного неоднородного уравнения колебаний струны содержит в виде слагаемого его единственное (с точностью до аддитивных классических решений соответствующего факторизованного однородного уравнения) обобщенное решение, которое дважды непрерывно дифференцируемое и является его классическим решением в первой четверти плоскости. Это позволило нам вывести необходимость непрерывности ƒ и соответствующих интегральных требований гладкости на ƒ для существования классических решений исследуемого уравнения.